Laboratoire 4¶

Ce laboratoire s’intéresse à la transformée de Fourier discrète, qui est une opération mathématique permettant de calculer les composantes fréquentielles d’un signal à partir d’un ensemble d’échantillons de celui-ci. En particulier, nous allons utiliser cette opération pour visualiser le spectre d’un signal sonore.

La transformée de Fourier discrète¶

Considérons un signal \(x\) dont on connaît une séquence d’échantillons \(x[0]\), \(x[1]\), …, \(x[N - 1]\), obtenus à des instants périodiques (ce qui signifie que le délai séparant la prise de deux échantillons successifs est constant).

Par exemple, de nombreux dispositifs de traitement du son utilisent une fréquence d’échantillonnage de 44.1 kHz, introduite à l’origine pour le Compact Disc (CD). Le signal \(x\) correspond dans ce cas à l’amplitude du signal sonore échantillonné 44100 fois par seconde.

La transformée de Fourier discrète (Discrete Fourier Transform, DFT) de la séquence \(x[0]\), \(x[1]\), …, \(x[N - 1]\) est la suite de valeurs \(X[0]\), \(X[1]\), \(X[2]\), …, définie par:

\(\displaystyle X[k] = \sum_{n = 0}^{N-1} x[n]\, e^{-\frac{2\pi ikn}{N}},\)

pour \(k\) entier.

Principales propriétés¶

Les valeurs \(X[0]\), \(X[1]\), \(X[2]\), … sont des nombres complexes tels que \(X[k + N] = X[k]\) pour tout \(k\). (En effet, on a \(e^{-2\pi i} = 1\), donc \(e^{-\frac{2\pi ikn}{N}} = e^{-\frac{2\pi i(k + N)n}{N}}\).)

Par conséquent, pour connaître entièrement la transformée de Fourier discrète des échantillons \(x[0]\), \(x[1]\), …, \(x[N - 1]\), il est suffisant de se limiter à la séquence \(X[0]\), \(X[1]\), …, \(X[N - 1]\).
Si les échantillons \(x[0]\), \(x[1]\), …, \(x[N - 1]\) sont des nombres réels, alors on a \(X[k] = (X[N - k])^*\) pour tout \(k\), où \(z^*\) dénote le conjugué de \(z\). En effet, on a:

\(\displaystyle X[N - k] = \sum_{n = 0}^{N-1} x[n]\, e^{-\frac{2\pi i(N - k)n}{N}} = \sum_{n = 0}^{N-1} x[n]\, e^{\frac{2\pi ikn}{N}} = (X[k])^*\).

Cela signifie que si \(x[0]\), \(x[1]\), …, \(x[N - 1]\) sont réels, comme c’est souvent le cas lorsque l’on échantillonne un signal physique, alors la transformée de Fourier discrète de ces échantillons est entièrement caractérisée par la séquence \(X[0]\), \(X[1]\), …, \(X[\frac{N}{2}]\) (en supposant pour simplifier que \(N\) est pair).
On peut retrouver \(x[0]\), \(x[1]\), …, \(x[N - 1]\) à partir de \(X[0]\), \(X[1]\), …, \(X[N - 1]\) grâce à la transformée de Fourier discrète inverse, définie de la façon suivante:

\(\displaystyle x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N-1} X[k]\, e^\frac{2\pi ikn}{N},\)

pour \(n\) entier.

Cette dernière propriété permet d’expliquer intuitivement la transformée de Fourier discrète: A une constante de proportionnalité près, les valeurs \(X[0]\), \(X[1]\), \(X[2]\), …, \(X[N - 1]\) correspondent aux coefficients qu’il faut appliquer aux fonctions \(e^\frac{2\pi i0n}{N}\), \(e^\frac{2\pi i1n}{N}\), \(e^\frac{2\pi i2n}{N}\), …, \(e^\frac{2\pi i(N - 1)n}{N}\) afin de reconstruire les échantillons \(x[n]\), où \(n\) varie de \(0\) à \(N - 1\).

Dans le laboratoire 1, nous avons vu que la fonction \(f(n) = e^\frac{2\pi ikn}{N}\) est périodique de période \(\frac{N}{k}\), pour \(k > 0\). (Souvenez-vous des points que vous faisiez tourner sur le cercle trigonométrique.) Lorsque les échantillons \(x[0]\), \(x[1]\), …, \(x[N - 1]\) sont réels, on en déduit que:

\(X[1]\) est le coefficient d’une composante périodique de fréquence \(\frac{1}{N}\).
\(X[2]\) est le coefficient d’une composante périodique de fréquence \(\frac{2}{N}\).
…
\(X[\frac{N}{2}]\) est le coefficient d’une composante périodique de fréquence \(\frac{1}{2}\) (en supposant cette fois encore que \(N\) est pair).
\(X[0]\) est le coefficient d’une composante constante (étant donné que l’on a \(e^{2\pi i0} = 1\)).

Dans ce développement, les fréquences sont exprimées par rapport à celle utilisée pour échantillonner le signal. Par exemple, dans le cas d’un signal sonore échantillonné à 44.1 kHz et pour \(N = 1024\):

\(X[0]\) est le coefficient d’une composante constante.
\(X[1]\) est le coefficient d’une composante à 43.06 Hz.
\(X[2]\) est le coefficient d’une composante à 86.13 Hz.
…
\(X[512]\) est le coefficient d’une composante à 22050 Hz.

La transformée de Fourier discrète permet donc de déterminer les composantes fréquentielles d’un signal. Dans la suite de ce laboratoire, nous allons l’utiliser pour analyser la composition d’un signal sonore.

Notes:

Chaque coefficient \(X[k]\) est une nombre complexe. Le module \(|X[k]|\) de celui-ci fournit l”amplitude de la composante périodique correspondante, et son argument \(\arg(X[k])\) la phase de cette composante (c’est-à-dire son décalage par rapport au temps).
Un échantillonnage effectué à la fréquence \(F\) ne permet d’extraire les composantes du signal que jusqu’à la fréquence \(\frac{F}{2}\) (appelée fréquence de Nyquist).
Une bonne référence sur la transformé de Fourier discrète est disponible sur le site de MathWorld.

Calcul¶

Un intérêt majeur de la transformée de Fourier discrète est que cette opération possède un algorithme de calcul efficace, le Fast Fourier Transform (FFT).

En effet, si l’on tente de calculer \(X[0]\), \(X[1]\), …, \(X[N - 1]\) à partir de \(x[0]\), \(x[1]\), …, \(x[N - 1]\) en appliquant naïvement la formule

\(\displaystyle X[k] = \sum_{n = 0}^{N-1} x[n]\, e^{-\frac{2\pi ikn}{N}},\)

alors le nombre d’opérations à effectuer est \(O(N^2)\), ce qui est prohibitif pour de grandes valeurs de \(N\). Nous allons montrer que ce nombre d’opérations peut être considérablement réduit en effectuant le calcul d’une façon plus judicieuse.

Supposons, pour simplifier, que \(N\) est une puissance entière de 2. On peut séparer, dans l’expression de \(\displaystyle X[k]\), les termes d’ordre pair et impair:

\[\begin{split}X[k] &= \big(x[0] + x[2]e^{-\frac{2\pi i\,2k}{N}} + x[4]e^{-\frac{2\pi i\,4k}{N}} + \cdots + x[N-2]e^{-\frac{2\pi i\,(N-2)k}{N}}\big)\\ &~~~~ + \big(x[1]e^{-\frac{2\pi i\,k}{N}} + x[3]e^{-\frac{2\pi i\,3k}{N}} + \cdots + x[N-1]e^{-\frac{2\pi i\,(N-1)k}{N}}\big)\\ &= \sum_{n = 0}^{\frac{N}{2}} x[2n] e^{-\frac{4\pi ikn}{N}} + \sum_{n = 0}^{\frac{N}{2}} x[2n + 1] e^{-\frac{2\pi ik(2n + 1)}{N}}\end{split}\]

Dans la deuxième somme, on peut mettre \(e^{-\frac{2\pi ik}{N}}\) en évidence, ce qui fournit:

\[X[k] = \sum_{n = 0}^{\frac{N}{2}} x[2n] e^{-\frac{4\pi ikn}{N}} + e^{-\frac{2\pi ik}{N}} \sum_{n = 0}^{\frac{N}{2}} x[2n + 1] e^{-\frac{4\pi ikn}{N}}\]

Cette expression montre comment décomposer le calcul de la transformée de Fourier discrète de \(x[0]\), \(x[1]\), …, \(x[N - 1]\) en deux calculs plus simples. Appelons

\(X_1[0]\), \(X_1[1]\), …, \(X_1[\frac{N}{2} - 1]\) la transformée de Fourier discrète de \(x[0]\), \(x[2]\), …, \(x[N - 2]\).
\(X_2[0]\), \(X_2[1]\), …, \(X_2[\frac{N}{2} - 1]\) la transformée de Fourier discrète de \(x[1]\), \(x[3]\), …, \(x[N - 1]\).

Pour \(k = 0, 1, ..., \frac{N}{2} - 1\), on a donc

\[X[k] = X_1[k] + e^{-\frac{2\pi ik}{N}} X_2[k]\]

Rappelez-vous que \(X_1\) et \(X_2\) sont périodiques de période \(\frac{N}{2}\) (cf. Propriété 1). On a donc également, toujours pour \(k = 0, 1, ..., \frac{N}{2} - 1\):

\[\begin{split}X[k + \frac{N}{2}] &= X_1[k] + e^{-\frac{2\pi i(k + \frac{N}{2})}{N}} X_2[k]\\ &= X_1[k] - e^{-\frac{2\pi ik}{N}} X_2[k]\end{split}\]

Ces expressions nous indiquent comment calculer efficacement la transformée de Fourier discrète: Etant donnés les \(N\) échantillons \(x[0]\), \(x[1]\), …, \(x[N - 1]\) (pour rappel, nous avons supposé que \(N\) est une puissance de 2), il suffit de:

Séparer les échantillons en deux tableaux \(x_1\) et \(x_2\) de taille \(\frac{N}{2}\), contenant respectivement les échantillons d’indice pair et impair.
Calculer récursivement les transformées de Fourier discrètes \(X_1\) et \(X_2\) de ces deux tableaux.

Le cas de base de cette récursion correspond à \(N = 1\): La transformée de Fourier discrète d’une séquence comprenant un seul échantillon \(x[0]\) est trivialement égale à \(X[0] = x[0]\).
Combiner \(X_1\) et \(X_2\) en un seul tableau \(X\) de la façon suivante. Pour \(k = 0, 1, ..., \frac{N}{2} - 1\), on a:

\[\begin{split}X[k] &= X_1[k] + e^{-\frac{2\pi ik}{N}} X_2[k]\\ X[k + \frac{N}{2}] &= X_1[k] - e^{-\frac{2\pi ik}{N}} X_2[k]\end{split}\]

En suivant cette procédure, chaque étape de décomposition présente un coût total proportionnel à \(N\), et le nombre de décompositions nécessaires pour arriver à des tableaux de taille 1 est égal à \(\log_2 N\). Le coût de cet algorithme est donc \(O(N \log N)\), ce qui est bien meilleur que l’approche naïve discutée au début de cette section.

Implémentation¶

Pour implémenter la FFT, vous aurez besoin de manipuler des nombres complexes. Pour ce faire, vous pouvez utiliser la bibliothèque que vous avez développée au laboratoire 1, mais il est sans doute plus pratique de directement exploiter les facilités offertes par Python:

L’instruction import cmath met à votre disposition un module contenant de nombreuses fonctions de manipulation de nombres complexes (telles que cmath.exp(), cmath.sqrt(), …).
La partie imaginaire d’une constante complexe peut être exprimée grâce au suffixe j. Par exemple, l’instruction z = -1 + 2j affecte à la variable z le nombre complexe \(-1 + 2i\).

Vous disposez à présent de tous les éléments nécessaires à l’implémentation de la FFT. Afin de faciliter cette implémentation, il est pratique de définir une interface qui permet de ne jamais devoir modifier le tableau contenant les échantillons.

Votre objectif consiste à définir une fonction fft() qui:

accepte quatre arguments:
- une liste valeurs de nombres complexes, représentant les échantillons dont on souhaite calculer la transformé de Fourier discrète.
- deux entiers debut et pas donnant respectivement l’indice du premier échantillon à considérer dans le tableau valeurs, et la différence d’indice entre deux échantillons successifs.
  
  Par exemple, si debut = 4 et pas = 2, cela signifie qu’il faut traiter les échantillons valeurs[4], valeurs[6], valeurs[8], …
- un entier nombre représentant le nombre d’échantillons à traiter. Ce nombre doit être une puissance de 2.
retourne une liste (de taille nombre) contenant la transformée de Fourier discrète des échantillons. Dans le cas d’une erreur (par exemple, si la valeur de nombre n’est pas une puissance de 2), la fonction doit retourner la valeur spéciale None.

Premiers tests¶

Nous allons maintenant effectuer différents tests visant à vérifier que votre implémentation se comporte correctement, et également à vous familiariser avec les propriétés de la transformée de Fourier discrète.

Un premier test consiste à calculer la transformée de Fourier discrète des échantillons suivants:

\[\begin{split}x[0] &= -1\\ x[1] &= 2 + 2i\\ x[2] &= -2i\\ x[3] &= -3\end{split}\]

Vous devriez obtenir ce résultat (aux imprécisions de calcul près):

\[\begin{split}X[0] &= -2\\ X[1] &= 1 - 3i\\ X[2] &= -4i\\ X[3] &= -3 + 7i\end{split}\]

Cela fonctionne-t-il? (Dans la négative, il faut afficher les résultats intermédiaires de vos calculs afin de déterminer les causes du problème. Vous pouvez également écrire une fonction qui calcule de façon naïve la transformée de Fourier discrète, afin de pouvoir en comparer les résultats avec votre implémentation de la FFT.)

Si vous avez obtenu le bon résultat, nous allons maintenant montrer comment calculer la transformée inverse, c’est-à-dire recalculer \(x[0]\), \(x[1]\), \(x[2]\) et \(x[3]\) à partir de \(X[0]\), \(X[1]\), \(X[2]\) et \(X[3]\). Si vous remontez au début de cette page, vous constaterez que la formule de la transformée discrète inverse ne diffère de celle de la transformée discrète qu’en deux points:

Les coefficients \(e^{-\frac{2\pi ikn}{N}}\) sont remplacés par \(e^{\frac{2\pi ikn}{N}}\).
La formule comprend un facteur supplémentaire \(\frac{1}{N}\).

Pour calculer la transformée inverse à l’aide du même algorithme que celui que vous venez d’implémenter, il suffit de remarquer que pour tout \(k\), on a

\(e^{\frac{2\pi ikn}{N}} = e^{-\frac{2\pi i(N - k)n}{N}}\).

Calculer la transformée de Fourier discrète inverse du tableau \(X[0]\), \(X[1]\), \(X[2]\) et \(X[3]\) revient donc à:

Echanger les valeurs aux indices \(1\) et \(N - 1\), celles aux indices \(2\) et \(N - 2\), et ainsi de suite (ce qui revient à retourner le tableau entre les indices \(1\) et \(N - 1\)), la valeur d’indice \(0\) restant inchangée.
Calculer la FFT du tableau obtenu.
Diviser chaque composante du résultat par \(N\).

Vous pouvez appliquer cette procédure au tableau \(X\) précédemment calculé. Si vous calculez la FFT de

\[\begin{split}X'[0] &= -2\\ X'[1] &= -3 + 7i\\ X'[2] &= -4i\\ X'[3] &= 1 - 3i\\\end{split}\]

et divisez le résultat par 4, vous devriez retrouver les échantillons initiaux. Est-ce bien le cas?

Fonctions périodiques¶

Le test suivant vise à mettre en évidence la capacité de la transformée de Fourier discrète à extraire les composantes fréquentielles d’un signal.

Vous allez rédiger un programme qui effectue les opérations suivantes:

Générer \(N = 1024\) échantillons d’une fonction périodique dont la période est un diviseur entier de \(N\), par exemple

\(x[n] = \sin \frac{\pi n}{8}\)

pour \(n \in [0, 1023]\).
Utiliser votre fonction fft() pour calculer la transformée de Fourier discrète \(X\) de cette séquence d’échantillons.
Ouvrir une fenêtre de 1024 pixels de large sur 768 pixels de haut.
A chaque position horizontale \(n \in [0, 1023]\) dans cette fenêtre, afficher le module de la composante \(X[n]\) de la transformée de Fourier discrète calculée au point (2), sous la forme d’une barre verticale dessinée à partir du bas de la fenêtre.

(Pour dessiner cette barre verticale, le plus simple consiste à utiliser la fonction pygame.draw.rect(), en spécifiant un rectangle de 1 pixel de largeur.)

Vous devriez obtenir un résultat similaire à celui-ci:

DFT d’un signal périodique.

Comme on le voit, la figure obtenue est symétrique, puisque que les échantillons de départ ne contiennent que des valeurs réelles. Chaque moitié contient un pic isolé correspondant à la fréquence \(\frac{64}{N}\) du signal. Vous pouvez bien sûr essayer de modifier cette fréquence afin de voir de quelle façon elle influence le résultat.

L’étape suivante consiste à superposer plusieurs signaux périodiques, par exemple en définissant à présent

\(x[n] = \frac{1}{3} \sin \frac{\pi n}{8} + \cos \frac{\pi n}{4} + \frac{1}{2} \sin \frac{\pi n}{2}\).

Comme on le voit bien sur la figure suivante, la transformée de Fourier discrète parvient sans problème à séparer ces trois composantes périodiques, et même à mesurer précisément leur contributions relatives:

DFT d’une superposition de signaux périodiques.

Enfin, on peut chercher à analyser un signal dont la période n’est pas un diviseur exact de la période d’échantillonnage, par exemple

\(x[n] = \sin \frac{\pi n}{5}\)

Dans ce cas, on voit apparaître un phénomène de « fuite » (spectral leakage) dans lequel une partie de l’énergie du pic fréquentiel déborde sur les fréquences voisines:

Fuite spectrale.

(Ce phénomène de fuite se manifestera chaque fois que l’on observera un signal dans une fenêtre dont la largeur n’est pas un multiple exact de sa période.)

Si vous avez atteint cette étape avec un programme qui fonctionne, déposez-le dans le répertoire centralisé, en lui donnant le suffixe prog-11.py.

Spectrogramme d’un son¶

Nous allons à présent utiliser la transformée de Fourier discrète afin de visualiser le spectre d’un signal sonore.

Fichiers sonores¶

La première étape consiste à obtenir des échantillons. Nous allons utiliser le module wave de Python, permettant de travailler avec des fichiers au format .wav.

Principes:

L’instruction import wave charge ce module.
L’instruction fichier = wave.open("nomfichier.wav", "r") ouvre le fichier nommé "nomfichier.wav" en lecture, et place dans la variable fichier un objet permettant de le manipuler.
Après cette instruction, la commande fichier.getnchannels() retourne le nombre de canaux sonores du fichier: 1 pour un signal mono, 2 pour un signal stéréo, …
La fonction fichier.getframerate() retourne la fréquence d’échantillonnage du fichier, exprimée en Hertz.
La fonction fichier.getsampwidth() retourne le nombre d’octets utilisés pour encoder chaque échantillon. Ce nombre est identique pour chaque canal.
La fonction fichier.getnframes() retourne le nombre d’échantillons contenus dans le fichier. Ce nombre est identique pour chaque canal.
La fonction fichier.setpos(i) repositionne le fichier de façon à ce que la prochaine lecture retourne l’échantillon i (dans chaque canal). Le premier échantillon correspond à i = 0.
L’instruction donnees = fichier.readframes(N) lit N échantillons dans chaque canal, à partir de la position courante dans le fichier, et les place dans un tableau d’octets donnees.

Si cette opération réussit, alors le nombre d’octets contenus dans donnees (correspondant à len(donnees)) est égal à N fois le nombre de canaux fois le nombre d’octets d’un échantillon. S’il reste moins que N échantillons dans le fichier, alors le tableau retourné sera plus petit.
Dans le cas d’un signal à M canaux et à 2 octets par échantillon, qui est le seul que nous considérerons dans le cadre de ce laboratoire, le fragment de code suivant permet de transformer le résultat de donnees = fichier.readframes(N) en un tableau d’échantillons:
```
import struct

echantillons = []
for i in range(N):
    echantillons.append(struct.unpack_from("<h", donnees, i * 2 * M)[0])
```
Notes:
- Par simplicité, on ne lit que le premier canal.
- Chaque échantillon est représenté sous la forme d’un entier dans l’intervalle [-32768, 32767].

Dans un premier temps, afin de valider ces mécanismes, vous pouvez écrire un programme prog-12.py qui:

Ouvre un fichier sonore donné.
En extrait les paramètres (fréquence d’échantillonnage, nombre de canaux, …), et s’assure que les échantillons sont bien représentés sur 2 octets chacun.
Lit les échantillons relatifs au premier canal, et les affiche simplement sur la console (via print()).

Pour tester votre programme, une archive contenant quelques fichiers sonores est à votre disposition.

Visualisation du spectre¶

Pour visualiser le spectre du signal, nous n’allons pas calculer la transformée de Fourier discrète de l’ensemble des échantillons. En effet, nous souhaitons pouvoir étudier comment les composantes fréquentielles du signal évoluent avec le temps. La procédure que nous allons suivre est la suivante:

Pour une certaine valeur de \(N\), par exemple \(N = 2048\), extraire \(N\) échantillons successifs du fichier, à partir d’une certaine position dans celui-ci.
Calculer la transformée de Fourier discrète de ces échantillons.
Afficher cette transformée dans une fenêtre, sous la forme d’une ligne verticale dont la position horizontale correspondra à l’endroit dans le fichier où les échantillons ont été extraits. En d’autres termes, la dimension horizontale de la figure obtenue correspondra au temps, et la dimension verticale à la fréquence.

Marche à suivre:

Dans votre programme, créer une fenêtre de 1024 pixels de large et de 768 pixels de haut.
Comme précédemment, ouvrir un fichier sonore donné, et vérifier que ses paramètres sont corrects. Vérifier également qu’il contient au moins \(N = 2048\) échantillons.
Pour chaque position horizontale i dans l’intervalle [0, 1023]:
1. Calculer l’endroit dans le fichier où extraire \(N\) échantillons, de façon à ce que i = 0 et i = 1023 correspondent respectivement au début et à la fin du fichier.
2. Extraire ces échantillons.
3. A l’aide de votre fonction fft(), calculer la transformée de Fourier discrète \(X[0]\), \(X[1]\), …, de ces échantillons.
4. Afficher cette transformée dans la fenêtre, de la façon suivante: Pour j = 0, 1, ..., 767, la couleur du pixel situé à la coordonnée horizontale i et la coordonnée verticale j (depuis le bas de la fenêtre) doit reflèter le module \(|X[j]|\) de \(X[j]\).

Pour réaliser l’affichage, le plus simple est d’exploiter les mêmes mécanismes que dans les programmes prog-3.py, prog-4.py et prog-5.py du laboratoire 1.

Un point qui mérite quelques commentaires concerne le calcul de la couleur à attribuer au pixel représenant une composante \(X[j]\) de la transformée de Fourier discrète. L’approche suivante donne de bons résultats:

Calculer \(c = 1000 \log (|X[j]| + 0.1)\).
Pour les valeurs de \(c\) négatives, utiliser la couleur (0, 0, 0) (noir).
Pour les valeurs de \(c\) comprises entre 0 et 3599, suivre une rampe linéaire depuis la couleur (0, 0, 0) (noir) vers la couleur (0, 0, 255) (bleu).
Pour les valeurs de \(c\) comprises entre 3600 et 7199, suivre une rampe linéaire depuis la couleur (0, 0, 255) (bleu) vers la couleur (255, 0, 255) (mauve).
Pour les valeurs de \(c\) comprises entre 7200 et 10799, suivre une rampe linéaire depuis la couleur (255, 0, 255) (mauve) vers la couleur (255, 0, 0) (rouge).
Pour les valeurs de \(c\) comprises entre 10800 et 14399, suivre une rampe linéaire depuis la couleur (255, 0, 0) (rouge) vers la couleur (255, 255, 0) (jaune).
Pour les valeurs de \(c\) comprises entre 14400 et 17999, suivre une rampe linéaire depuis la couleur (255, 255, 0) (jaune) vers la couleur (255, 255, 255) (blanc).
Pour les valeurs de \(c\) supérieures ou égales à 18000, utiliser la couleur (255, 255, 255) (blanc).

Voici un exemple de ce que vous devriez obtenir, pour un des fichiers de l’archive:

Spectrogramme.

Si vous y êtes arrivé, félicitations! Vous pouvez placer votre programme dans le répertoire centralisé, avec le suffixe prog-12.py.

Prenez-le temps de faire quelques expériences. (L’archive contient des exemples de sons produits par différents instruments de musique.) Etes-vous capable de mettre en correspondance ce que vous observez sur les spectrogrammes avec les éléments de la musique que vous écoutez?